Расчет сложных процентов — распишем все нюансы

Начисление процентов — одна из основных операций в экономике и инвестировании. Самый близкий всем пример — депозит в банке, где вложенные деньги в конце периода возвращаются к владельцу с прибылью.

А что будет, если повторить этот цикл несколько раз? Тут то и появляется понятие простых и сложных процентов, которым посвящена эта статья.

Сложный процент от А до Я

Это малопонятный термин для тех, кто не работает в инвестиционной или банковской сферах. Однако он нередко фигурирует при оформлении кредита или вклада. Поэтому от грамотных расчетов напрямую зависит ваша прибыль или убытки.

Расчет

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна , где  — начальная сумма вложенных средств,  — годовая процентная ставка,  — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + s/100) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + s/100) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в раз. За три года — в раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

где

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n — общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали капитализацию процентов по вкладу за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

где:

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Что такое сложный процент

Если простой каждый отчетный период начисляется на изначальную сумму вклада или займа, сложный постоянно пересчитывается. Например, если отчетный период в организации – 1 год. Это значит, что каждый год к изначальной сумме будет добавляться сумма, полученная с учетом процентной ставки, а на второй год проценты будут высчитывать уже от изначального объема средств + процента за первый год.

Звучит запутанно? Тогда давайте разберемся на живых примерах.

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

Формулы сложных процентов в математике встречаются постоянно, особенно если речь идёт об экономических задачах. Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

• начальная сумма вклада (K нулевая или К0)
• ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
• количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1)5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

Можно даже подсчитать прибыль в процентах, для этого нужно найти не разницу, а отношение между конечной и стартовой суммой:

P (%) = K/К0 — 1 = 16105.1$ / 10000$ — 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Используем формулу:

К0 = 1000000₽ / (1 + 0.2)3 =  578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Начнем с процентной ставки:

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

Для начала нужно посчитать конечную сумму, так как мы знаем только прибыль:

K = К0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Напоследок давайте выясним, как рассчитать, на какой срок нужно положить деньги, чтобы получить нужную нам прибыль. Без логарифмов не обойтись:

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

Пример

Хорошей иллюстрацией является известная евангельская притча о том, как одна бедная вдова во времена Иисуса Христа принесла в жертву в храм последнее, что у неё было — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что в то время существовали банки, и она внесла бы одну монетку в банк, то какая сумма накопилась бы на банковском счёте к сегодняшнему дню, учитывая, что банк обеспечивает капитализацию процентов в сумме, скажем, пять процентов годовых?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Нам легче будет говорить, не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в раз. За три года — в раз.

К 2016 году первичный вклад вырос бы до величины в раз больше первоначальной. Величина составляет . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2012 году сумма составит рублей, то есть свыше 52 додециллионов.

Первоначальная идея применения к старинной притче оценок в сложных процентах принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математичных загадок».

Точная формула для оплаты ежемесячно

Точная формула для ежемесячного платежа

с = ежемесячный платеж P = начальная сумма r = ежемесячная процентная ставка n = количество периодов выплат

Периодическое начисление

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

t = Общее время в годax

n = число периодов наращения в год

г = Номинальная годовая процентная ставка выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

nt = означает, что nt округляется до ближайшего целого числа.

Непрерывное начисление

Пределом при является (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления, формула принимает вид:

Мнения

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования.

Заключение

Даже спустя сотни лет после открытия, сложные проценты не теряют своей популярности и значимости. Это мощный инструмент в финансовом мире для приумножения капитала. Не имеет значения являетесь вы крупным инвестором или просто держите депозитный счет в банке. Более важным будет ваше мастерство находить самые выгодные предложения.

Согласитесь, ведь куда лучше сделать вклад с меньшей процентной ставкой, но с возможностью капитализации доходов. Чем положить деньги с высокой ставкой, но без возможности начисления сложного процента.

Калькулятор для вычисления сложных процентов

Любые нецензурные будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Поделитесь в соц.сетях:

Оцените статью: (Пока оценок нет) Загрузка...

Читайте также:

Какая платежная система лучше — Яндекс.Д... Что такое Paypal и как им пользоваться:... Что такое номер корректировки в справке... Как пополнить Вебмани через карту Сберба...